[拼音]:Diufantu bijin

[英文]:Diophantine approximation

数论的一个分支,以研究数的有理逼近问题为主。这里所谓的数是指实数、复数、代数数或超越数。数的有理逼近问题,可表为求某种不等式的整数解问题。由于在整数范围求解的方程称为不定方程或丢番图方程,因而把求不等式的整数解问题称之为丢番图逼近。

1891年,A.胡尔维茨将上式改进为

并指出,对于某些无理数,常数

是最佳值,不可再减小。但是对于很多无理数,常数

不是最佳值,还可再减小。1926年,A.Я.辛钦证明了:在勒贝格测度意义下对几乎所有的实数α,不等式|α-p/q|<ψ(q)/q的整数解p、q有无穷多对还是只有有穷多对,由级数

丢番图逼近与连分数有密切联络。一个数的连分数展开,往往就是具体构造有理逼近解的过程。例如,对于任意无理数α,有无穷多个渐近分数pn/qn,满足不等式

。以后一些数学家不断改进指数μ 的值,直到得出μ 与 d无关的结果。1909年,A.图埃得到μ >1+d/2。1921年,C.L.西格尔得到

。1947年至1948年间,F.戴森和A.O.盖尔丰德各自独立证明了

。1955年,K.F.罗特得到了μ与d无关的一个结论:如果α是实代数数,其次数 d≥2,那么对于任意的δ>0,不等式

只有有穷多个解。这一结论又称为图埃-西格尔-罗特定理。

对于一组数的有理逼近问题,称之为联立丢番图逼近。狄利克雷关于联立逼近有如下论断:如果α1,…,αn是n个实数,Q>1是整数,那么存在一组整数q,p1,…,pn满足不等式组

进而,如果α1,…,αn中至少有一个无理数,那么存在无穷多组解(p1/q,…,pn/q),适合不等式组

关于实代数数的联立有理逼近,直到1970年才由W.M.施密特彻底解决。他证明了:如果α1,…,αn是实代数数,并且1,α1,…,αn在有理数域上线性无关,那么对任意的δ>0,只有有限多个正整数q使得

成立。式中记号‖x‖表示x与最近整数的距离。这一结果的一个等价表达方式:对于上述的实数α1,…,αn及任意的δ>0,只有有限多组非零整数q1,…,qn适合

由此可知,联立不等式

只有有限多组解(p1/q,…,pn/q),以及不等式

只有有限多组整数解p,q1,…,qn。

用代数数逼近代数数,也是丢番图逼近的一类重要内容。W.M.施密特所著《丢番图逼近》(1980)一书中,有详细的论述。

自20世纪以来,丢番图逼近除自身的发展外,在超越数论、丢番图方程等方面都有重要的应用。

参考书目

J. W. S.Cassels,An Introduction to Diophantine ApproxiMation, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1957.

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